Yanto Indra: Matematika diskrit

Pengertian Matematika diskrit

Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak berkesinambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Lawan kata diskrit adalah kontinyu atau menerus. Himpunan bilangan riil (real) adalah suatu objek kontinu. Di dalam matematika kita mengenal fungsi diskrit dan fungsi kontinu. Fungsi diskrit digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi kontinu digambarkan sebagai kurva. Matematika diskrit berkembang sangat pesat dalam dekade terakhir ini. Salah satu alasan yang menyebabkan perkembangan pesat itu adalah karena komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Salah satu materi di dalam matematika diskrit ini adalah teori bilangan bulat. Sesuai dengan namanya, teori bilangan bulat sangat erat hubungannya dengan bilangan bulat. Bilangan bulat itu sendiri adalah bilangan yang tidak mempunya pecahan desimal, misalnya adalah 2, 43, 566, -64, 0 dan sebagainnya. Teori bilangan bulat dalam matematika diskrit memberikan penekanan dengan sifat pembagian. Sifat pembagian pada bilangan bulat melahirkan konsep-konsep seperti bilangan prima dan aritmatika modulo. Satu algoritma penting yang berhubungan dengan sifat pembagian ini adalah algoritma Euclidean. Baik bilangan prima, aritmatika modulo, dan algoritma Euclidean memainkan peran yang penting dalam bidang ilmu Kriptografi, yaitu ilmu yang mempelajari kerahasiaan pesan.

Untuk postingan selanjutnya .. Membahas teori2 yang ada di dalam matematika diskrit..

Contoh - Contoh Soal Matematika Diskrit tentang Himpunan

100Share 4U 03:05:00 Matematika diskrit

1. Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik”

Misalkan:

p = “penjualan merosot”

q = “pendapatan naik”

a. Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik.

~ ( p  ( ~ q ) )

b. Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (petunjuk: gunakan Hukum de Morgan).

~ ( p  ( ~ q ) ) = ~ p  ~ (~q ) )[Hukum de Morgan]

= ~ p  q [Hukum Involusi]

Penyelesaian : “penjualan tidak merosot atau pendapatan naik”

2. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.

a. Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.

“Jika Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda mendapatkan satu kupon undian”

b. Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.

Ingkaran (negasi):

p  q  ~ p  q
~ ( p  q)  ~ (~p  q)
 p  ~ q

Penyelesaian : “Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,- dan Anda tidak mendapatkan satu kupon undian”

3. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu Amplop undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 20.000,-”.Tentukan ingkaran, konvers dari pernyataan tersebut.

Ingkaran (negasi):

Penyelesaian : Konvers : “Jika Anda mendapatkan satu Amplop undian, maka Anda membeli dua produk Rp. 20.000,-”

4. Tunjukkan bahwa [ p  ( p  q ) ]  q adalah tautologi. (10)

Tabel kebenaran:

Dari tabel kebenaran, terlihat bahwa [ p  ( p  q ) ]  q selalu bernilai benar dan karenanya merupakan sebuah tautology

5. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu Tiket , Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 10.000,-” Tentukan ingkaran, Invers dari pernyataan tersebut.

Ingkaran (negasi):

Penyelesaian :“Jika Anda tidak membeli dua Tiket senilai Rp. 10.000,-, maka Anda tidak mendapatkan satu Satu Tiket”

6. Berapa banyak bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5?

(10)

Misalkan:

Z = himpunan bilangan bulat

A = {x | x  Z, 501  x  1000, x habis dibagi 3}

B = {x | x  Z, 501  x  1000, x habis dibagi 5}

Maka, banyaknya bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 dapat dinotasikan dengan |U| - |A  B| dengan |U| menyatakan banyaknya bilangan bulat di antara 501 sampai 1000

|A  B| = |A| + |B| - |A  B|

= (1000 / 3 – 500 / 3) + (1000 / 5 – 500 / 5)

- (1000 / (3 * 5)  – 500 / (3 * 5))

= 167 + 100 – 33

= 234

sehingga

|U| - |A  B|= 500 – 234 = 266

jadi, banyaknya bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 adalah 266 bilangan.

7. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi himpunan

(7,5)

[Hukum Asosiatif]

[Hukum Distributif]

[Hukum Komplemen]

[Hukum Distributif]

[Hukum Komplemen]

[Hukum Idempoten]

(7,5)

[Hukum Dualitas dari jawaban a]

8. Misalkan A adalah himpunan. Periksalah apakah setiap pernyataan di bawah ini benar atau salah dan jika salah, bagaimana seharusnya:

Penyelesaian :

•

salah, seharusnya

• benar

• salah, seharusnya

atatan: angka yang diapit tanda kurung di sebelah kanan soal menunjukkan bobot soal tersebut

9. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu Kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.Tentukan ingkaran, kontraposisi dari pernyataan tersebut.

Penyelesaian : Kontraposisi- “Jika Anda tidak mendapatkan satu kupon undian, maka Anda tidak membeli dua Kupon senilai Rp. 50.000,-”

10. Dalam sebuah kantong terdapat 8 kaleng. Berapa banyak cara mengambil 4 kaleng dari kantong tersebut?

jawaban :

8C4 = 8!/4!(8-4)! = (8x7×6×5×4!)/4!4! = 70 cara

11. Mahasiswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1- 5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil mahasiswa adalah:

jawaban :

5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

12. Terdapat tiga orang (a,b,dan c) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

jawaban :

nPx = n!

3P3 = 3!

= 1 x 2 x 3

= 6 cara (abc, acb, bac, bca, cba, cab)

13. 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!

jawaban :

Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2

8! 8! 8 . 7 . 6 !

8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan

(8 − 2)! 2! 6! 2! 6! 2.1

14. 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!

jawaban :

Kombinasi 2 dari 6 :

6! 6! 6.5.4 !

6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan

(6 -2)! 2! 4! 2! 4! 2.1